Modèlede table à trous à imprimer, coller sur une plaque de bois ou carton fort et percer pour fabriquer la table de mémorisation des multiplications. A utiliser avec 100 perles rouges Pédagogie Montessori. Table de contrôle : multiplication A imprimer et plastifier Pédagogie Montessori. Tables à doigts : multiplication Pour fabriquer les tables de mémorisation de la Latable de Pythagore est un outil classique utilisé en classe pour trouver le résultat d'une multiplication. Elle peut facilement être utilisée pour suivre les tables à connaître : il suffit de colorier les cases correspondantes. Dans ma classe, on utilise les étoiles de multiplication de Charivari pour l'apprentissage des tables. Fast Money. Modifié par Arrêté 1997-05-09 art. 18, art. 19, art. 20, art. 21 JORF 31 mai 1997Abrogé par Arrêté 2007-05-14 art. 93 JORF 17 mai 2007 Affichage. Le directeur responsable est tenu d'afficher, de manière visible, à l'entrée des salles de jeux *formalités - publicité* A. - 1° L'avis suivant Ne peuvent être admis dans les salles de jeux des casinos - les mineurs même émancipés *âge* ; - les fonctionnaires ou militaires en uniforme ; - les personnes en état d'ivresse ou susceptibles de provoquer du scandale ou des incidents ainsi que toute personne dont le ministre de l'intérieur a requis l'exclusion. 2° Le montant du droit d'entrée et les heures d'ouverture et de fermeture. B. - A l'entrée des salles autres que celles affectées à la boule et au vingt-trois ou à la boule, au vingt-trois et aux machines à sous ou à l'un de ces jeux seulement l'avis suivant Les cartes d'admission des salles où sont pratiqués le baccara, l'écarté, la roulette, le trente-et-quarante, la roulette américaine, le black-jack, le craps, la roulette anglaise, le punto banco et le stud poker de casino, assujetties au droit de timbre prévu à l'article 945 du code général des impôts, ne peuvent être délivrées gratuitement ou à prix réduit. Le directeur responsable est tenu de faire imprimer au verso des cartes d'admission dans les salles de jeux l'avis suivant Toute personne se trouvant dans les salles de jeux est tenue, sous peine d'exclusion immédiate, de présenter sa carte d'admission à toute réquisition soit des employés du casino, soit des agents de contrôle. Le directeur responsable est tenu d'apposer Dans la salle affectée à la boule et au vingt-trois A. Une affiche *mentions obligatoires* 1° Indiquant que Les jeux ne peuvent être pratiqués qu'argent comptant. Tout enjeu sur parole est interdit. Les mises ne peuvent être représentées que par des jetons ou plaques fournis par l'établissement. Le change des jetons ou plaques d'une valeur inférieure ou égale à 500 F à la boule et au vingt-trois peut être effectué aux tables de jeux par les soins du croupier. Le change des jetons ou plaques d'une valeur supérieure à 500 F ainsi que le change des espèces doivent s'effectuer à une caisse spéciale. 2° Reproduisant les dispositions suivantes Fonctionnement du jeu de la boule. Les seuls appareils autorisés sont les appareils de boule à neuf numéros. Il ne peut être fait usage que des deux combinaisons suivantes 1° Miser sur un numéro plein qui rapporte sept fois la mise ; 2° Miser sur une chance simple rouge, noir, impair, pair, passe ou manque qui rapporte une fois la mise. Lorsque le numéro 5 est sortant, la totalité des mises sur les chances simples est perdante. Dans tous les cas, le joueur gagnant conserve sa mise. Le maximum des mises s'applique par cylindre à chaque joueur considéré isolément. Fonctionnement du jeu du vingt-trois. Les seuls appareils autorisés sont les appareils à quatorze numéros reportés sur un plateau de vingt-sept cases. L'employé chargé de la manoeuvre de l'appareil doit obligatoirement actionner chaque fois le cylindre dans un sens opposé au précédent. Il annonce "Rien ne va plus" avant d'effectuer cette manoeuvre. Dès lors les enjeux ne sont plus admis et les croupiers doivent repousser toutes les mises qui pourraient être déposées contrairement à cette règle. Il peut être fait usage des combinaisons suivantes Miser en plein sur un des numéros 1, 2, 3 ou 4 qui rapporte vingt-trois fois la mise. Miser en plein sur un des numéros 5, 6, 7, 8, 9, 10 ou 11 qui rapporte onze fois la mise. Miser en plein sur un des numéros 12, 13 ou 14 qui rapporte sept fois la mise. Miser sur une chance simple rouge ou noir qui rapporte une fois la mise. Lorsque le numéro 13 est sortant, la totalité des mises sur les chances simples est perdante. Dans tous les cas, le joueur gagnant conserve sa mise. Le maximum des mises s'applique par cylindre à chaque joueur considéré isolément. B. - Un avis précisant le taux minimum et maximum des mises et le montant des avances, et indiquantmentions obligatoires* Jeux de cercles. Aux jeux dits de cercle, la somme en banque ne doit comprendre que des jetons ou plaques. Les mises des pontes peuvent être représentées par des billets de banque mais l'échange en devient obligatoire en cas de perte. Il ne peut être procédé à aucune opération de change à table. Le change s'effectue soit à la caisse, soit, pour les joueurs assis à table, par l'intermédiaire d'un employé chargé exclusivement de cette fonction, possesseur d'une caisse contenant une somme fixée à l'avance par la direction, et qui se tient debout devant le croupier, et reproduisant l'article 60 du présent arrêté. C. - Une affiche 1. Portant les prescriptions suivantes Jeux de contrepartie roulette, trente-et-quarante, roulette américaine, black-jack, craps, roulette anglaise, punto banco et le stud poker de casino et reproduisant les deux premiers paragraphes de l'article 39 du présent arrêté. 2. Reproduisant les dispositions de l'article 53 du présent arrêté et les extraits suivants de l'article 56 "Le jeu du trente-et-quarante se joue avec six jeux de 52 cartes. Les cartes doivent être d'un tarotage à teinte unie et de même couleur. Les joueurs ne peuvent faire usage que des combinaisons suivantes qui rapportent l'équivalent de la mise a Rouge ou noir ; b Couleur ou inverse. Le point se compte entre 30 et 40, les figures valant dix points les autres cartes étant comptées pour leur valeur. La première rangée est invariablement pour noir. La seconde rangée pour rouge. Le point le plus rapproché de 30 gagne. Couleur et inverse sont déterminées par la première carte de la première rangée. Si cette carte est de même couleur que la rangée gagnante, couleur gagne et inverse perd. Si elle n'est pas de même couleur, inverse gagne et couleur perd. Quand les deux rangées de cartes ont été alignées, le croupier tailleur annonce à haute voix les chances gagnantes. Les enjeux exposés sur les chances perdantes sont aussitôt enlevés et ce n'est qu'ensuite que les paiements ont lieu, ceux-ci s'effectuent obligatoirement chance par chance en commençant toujours par inverse ou noir, rouge et couleur et par les masses les plus éloignées du croupier. Pendant la durée des opérations de paiement, les cartes doivent demeurer sur la table de façon à laisser aux joueurs la possibilité de contrôler le point. Lorsque les deux rangées de cartes forment le même point le coup est nul sauf lorsqu'à ces deux rangées, il est de 31. Dans ce cas refait les dispositions de l'article 54 relatives au zéro de la roulette s'appliquent. Les enjeux égaux ou supérieurs à 50 F *francs* peuvent être assurés contre le "refait" moyennant le versement de 1 p. 100 *pourcentage* du montant de la mise, versement effectué lors du dépôt de l'enjeu. 3. Reproduisant les dispositions de l'article 57-1 du présent arrêté. 4. Reproduisant les dispositions suivantes Le jeu du black-jack se joue avec six jeux de 52 cartes *nombre*, trois d'une couleur et trois de l'autre. Après leur comptée et leur vérification, le croupier retourne les cartes qui sont divisées en plusieurs tas dont chacun est mélangé et coupé deux fois. Le sixain est ensuite coupé et enfin présenté à un joueur pour une nouvelle et dernière coupe. Après cette coupe, le croupier place une carte d'arrêt rouge dans le sixain afin de laisser un talon de la valeur approximative d'au moins un jeu. Les cartes sont ensuite introduites dans un sabot présentant les caractéristiques définies à l'article 60 et utilisé dans les mêmes conditions. Avant de distribuer les cartes, le croupier brûle les cinq premières cartes du sabot et commence ensuite la partie. Les cartes sont, dans tous les cas, distribuées figures en dessus. Lorsque la carte d'arrêt rouge apparaît, le croupier sépare le talon en deux parties qu'il introduit séparément en deux endroits différents dans les cartes brûlées, procède au mélange de l'ensemble des cartes comme ci-dessus, puis reprend le jeu où il était resté. Le nombre de joueurs assis, seuls susceptibles d'avoir une main, est au maximum de sept par tables. Si des places ne sont pas occupées, les joueurs assis peuvent miser sur les cases vacantes. Des joueurs debout peuvent miser sur la main d'un joueur assis, avec l'accord de celui-ci et dans les limites du maximum de mise autorisée pour la main ; ils ne peuvent toutefois lui donner des instructions ou des conseils et subissent ses initiatives. Chacune des mains d'un même joueur est considérée individuellement et suit l'ordre normal de distribution et de demande des cartes. 5. Reproduisant, outre les règlements particuliers à l'établissement pour l'entrée des joueurs ou tireurs dans le jeu, les extraits suivants des articles 57-6 et 57-7 du présent arrêté "Le jeu du craps se joue avec deux dés de couleurs différentes. A chaque séance, trois paires de dés en parfait état et différentes de celles utilisées lors de la précédente séance sont mises à la disposition de chaque table. Le stickman préposé aux dés est chargé d'en vérifier le bon état en tant que de besoin en cours de partie, de les passer aux joueurs et est seul habilité à faire les différentes annonces nécessitées par le déroulement du jeu. Les dés sont proposés successivement aux joueurs en partant, en début de partie, de celui qui se trouve à gauche des croupiers, puis dans le sens des aiguilles d'une montre. Si un joueur refuse son tour, les dés passent au joueur suivant dans l'ordre prévu. Le stickman passe les dés au joueur au moyen de sa canne et doit éviter de les toucher, sauf pour les examiner ou les ramasser lorsqu'ils sont tombés de la table. Le joueur qui lance les dés, ou tireur, doit les jeter immédiatement après l'annonce du "Rien ne va plus" et ne doit ni les frotter ni les garder dans la main. Un cornet transparent peut être utilisé pour le lancer. Les dés sont lancés de telle manière qu'ils s'immobilisent dans la partie de la table opposée à la place d'où ils ont été jetés après que l'un au moins ait frappé le bord opposé au joueur. Ils doivent rouler et non glisser et, pour être valables, être immobilisés à plat sur le tapis. En cas de dés cassés, superposés, à cheval ou arrêtés sur un jeton ou tombés de la table et à chaque fois que le lancer n'a pas été régulier, le manieur de canne annonce "Coup nul". Le chef de table peut retirer à un joueur son tour de jeter les dés s'il viole de façon répétée les règles du lancer. 6. Reproduisant les dispositions des deux premiers paragraphes de l'article 53 et les articles 57-10, 57-11 et 57-12 du présent arrêté concernant le jeu de la roulette anglaise ; 7. Reproduisant les dispositions de l'article 57-13 du présent arrêté concernant le jeu du punto banco ; 7 bis. Reproduisant les dispositions des articles 57-15, 57-16 et 57-17 du présent arrêté concernant le jeu de stud poker de casino. 8. Reproduisant l'avis suivant Aux jeux de contrepartie, les avances de caisse, de même que l'encaisse restant en fin de partie, sont comptées ostensiblement devant le public et assez lentement pour que tous les assistants puissent suivre l'opération dans tous ses détails. La somme reconnue est appelée à haute voix et inscrite immédiatement dans le carnet d'avances. Toute personne présente peut demander communication de ce carnet pour s'assurer que les sommes portées correspondent exactement aux sommes appelées. D. Une affiche de grande dimension portant le texte suivant *mentions obligatoires* Avis au public. Sous peine de renvoi immédiat, il est interdit aux valets de pied, à tout autre employé du casino, de marquer des places à l'avance aux tables de jeu. En principe, les places assises sont réservées aux joueurs présents au moment du commencement de la partie. Ce n'est qu'à titre exceptionnel que le casino est en droit de décider que les joueurs pourront, en dehors de toute intervention des valets de pied ou des autres employés, se faire inscrire, soit à la caisse, soit à un guichet spécial, pour avoir une place réservée à certaines tables déterminées. Dans ce cas, la liste des places retenues est remise au changeur de la table, qui marque les places par des morceaux de carton portant le nom du jour intéressé. Les places non occupées un quart d'heure au plus tard après le commencement de la partie *délai* seront attribuées, dans l'ordre d'inscription, aux joueurs présents figurant à la suite sur la liste. Le directeur responsable est tenu d'indiquer à chaque table de roulette, de trente-et-quarante, de roulette américaine, de black-jack, de craps, de roulette anglaise, de punto banco et de stud poker de casino le numéro de la table et d'apposer un avis précisant, sous forme de tableau, le montant de l'encaisse, le taux minimal des mises et leur taux maximal aux différentes chances. De plus, pour chaque table de punto banco, il est tenu de préciser le minimum et le maximum des mises ainsi que les tableaux de tirage. Dans toutes les salles où sont exploitées les machines à sous Une affiche reproduisant les dispositions suivantes Les seules " machines à sous " autorisées sont de type " machines à rouleaux " et " jeux-vidéo ". Toute machine à sous comporte une plaque d'identification visible de l'extérieur où sont inscrits le numéro de série du constructeur et le numéro d'emplacement dans le casino. Les machines à sous peuvent être installées dans les salles de jeux existantes, ou dans des locaux spécialement aménagés permettant d'assurer la sécurité de ces jeux et dont les conditions d'accès sont celles prévues à l'article 14 du décret du 22 décembre 1959 modifié. Elles doivent être équipées de monnayeurs comparateurs électroniques susceptibles d'accueillir en mises simples ou en mises multiples soit des pièces d'au moins 1 F, soit des jetons de valeur identique. Elles peuvent également être équipées d'un dispositif permettant de recevoir en mises simples ou multiples une carte de paiement précréditée d'au moins 1 F. La valeur unitaire des mises, les combinaisons gagnantes et le montant des paiements s'y rapportant sont affichés sur la façade de la machine. Les gains sont délivrés soit directement, en pièces de monnaies ou en jetons par la machine, soit indirectement en espèces lorsqu'il s'agit de gros lots dits "jacks pots" ou de gains cumulés dépassant les limites de paiement automatique de la machine. Lorsqu'un joueur gagne un gros lot ou plusieurs lots qui se sont pas directement et totalement payés par la machine, le paiement s'effectue à la caisse spéciale disposée à l'intérieur de la salle où sont exploitées les machines, sous le contrôle du membre du comité de direction spécialisé. Les opérations de change s'effectuent soit à cette caisse, soit auprès des caisses secondaires et de changeurs itinérants spécialement affectés à cette tâche. Aucune opération de change de fausses pièces ou de monnaies étrangères provenant de la machine ne peut être effectuée à la demande du joueur par les changeurs ou caissiers. Les machines à sous ne peuvent être exploitées que si les autres jeux autorisés sont ouverts à la clientèle. Toutefois, elles peuvent avoir des horaires d'ouverture autonomes - lorsqu'elles sont exploitées dans des locaux distincts ; - lorsqu'elles sont exploitées dans la salle de boule et de vingt-trois à condition que ces deux jeux soient protégés de la clientèle tant qu'ils ne sont pas ouverts. Les fonctionnaires de la sous-direction des courses et des jeux du ministère de l'intérieur ou ses représentants dans les départements, ainsi que les fonctionnaires du ministère des finances sont chargés du contrôle et de la sincérité du fonctionnement de ces jeux. 1,79 $US-2,03 $US / Pièce 50 Pièces Commande minimale 2,42 $US-2,91 $US / Pièce 200 Pièces Commande minimale 2,64 $US-3,62 $US / Pièce 3 Pièces Commande minimale 0,20 $US-0,30 $US / Pièce 5000 Pièces Commande minimale 2,90 $US-3,50 $US / Jeu Jeux Commande minimale 10,23 $US-14,60 $US / Jeu 1 Jeu Commande minimale 5,31 $US-7,00 $US / Pièce Pièces Commande minimale 2,24 $US-2,58 $US / Pièce 3 Pièces Commande minimale 2,44 $US-3,81 $US / Boîte 60 Boîtes Commande minimale 1,90 $US-2,50 $US / Jeu Jeux Commande minimale 4,00 $US-5,00 $US / Pièce Pièces Commande minimale 2,14 $US-2,26 $US / Boîte 500 Boîtes Commande minimale 1,64 $US-1,98 $US / Pièce 1 Pièce Commande minimale 4,30 $US-5,20 $US / Pièce 50 Pièces Commande minimale 0,99 $US-2,00 $US / Boîte 500 Boîtes Commande minimale 2,35 $US-3,99 $US / Jeu 500 Jeux Commande minimale 1,57 $US-1,86 $US / Pièce 2 Pièces Commande minimale 1,80 $US-2,50 $US / Jeu 500 Jeux Commande minimale 1,00 $US-1,98 $US / Jeu 100 Jeux Commande minimale 7,39 $US-8,15 $US / Jeu 100 Jeux Commande minimale 2,00 $US-3,00 $US / Jeu Jeux Commande minimale 1,99 $US-2,99 $US / Jeu 99 Jeux Commande minimale 2,90 $US-3,50 $US / Jeu Jeux Commande minimale 19,47 $US-22,68 $US / Pièce Pièces Commande minimale 2,80 $US-3,20 $US / Pièce 60 Pièces Commande minimale 2,24 $US-2,58 $US / Pièce 3 Pièces Commande minimale 2,76 $US-3,19 $US / Pièce 60 Pièces Commande minimale 2,24 $US-2,58 $US / Pièce 3 Pièces Commande minimale 2,60 $US-3,30 $US / Pièce 5 Pièces Commande minimale 1,00 $US-15,00 $US / Pièce Pièce Commande minimale 1,95 $US-2,10 $US / Pièce 100 Pièces Commande minimale 0,50 $US-1,90 $US / Pièce Pièces Commande minimale 3,86 $US-4,63 $US / Pièce 10 Pièces Commande minimale 7 600,00 $US-8 600,00 $US / Unité 1 Unité Commande minimale 2 550,00 $US-2 630,00 $US / Pièce 1 Pièce Commande minimale 1,58 $US-9,40 $US / Pièce 100 Pièces Commande minimale 3 500,00 $US / Jeu 1 Jeu Commande minimale 6 450,00 $US-9 995,00 $US / Pièce 1 Pièce Commande minimale 0,19 $US-2,99 $US / Pièce 100 Pièces Commande minimale 48,00 $US-146,00 $US / Pièce 2 Pièces Commande minimale 14,30 $US-15,50 $US / Pièce Pièces Commande minimale 0,07 $US-0,16 $US / Pièce 1000 Pièces Commande minimale 1,45 $US-2,00 $US / Kilogramme 1000 Kilogrammes Commande minimale 2,60 $US-3,00 $US / Pièce 10 Pièces Commande minimale 0,15 $US-0,22 $US / Pièce Pièces Commande minimale 5 000,00 $US-5 400,00 $US / Jeu 1 Jeu Commande minimale 0,72 $US-0,75 $US / Mètre 2000 Mètres Commande minimale 1,35 $US-1,72 $US / Pièce 1000 Pièces Commande minimale Motivations Quand arrive la dernière quinzaine d’août, la question traditionnelle est de trouver une jolie activité pour démarrer l’année. On oublie les longs discours, les fiches de présentation et la liste de consignes inutiles. Des mathématiques et seulement des mathématiques ! Cette année, c’est une vidéo de Mickaël Launay encore lui qui a inspiré ce que je vais proposer à mes deux classes de sixième. Dans cette vidéo, Mickaël Launay montre une manière surprenante de dessiner les tables de multiplication. Ce que je trouve génial ici, c’est comment une idée toute simple mène à des structures mathématiques tellement complexes. C’est un excellent moyen de montrer à des élèves jeunes ce que signifie faire des mathématiques. Voici le lien vers cette vidéo sur Youtube La face cachée des tables de multiplication par Mickaël Launay en juin 2015. Description de la ressource J’ai rédigé une fiche de travail pour les élèves de sixièmes. Je souhaite explorer avec eux les représentations graphiques des tables de multiplication de 2 à 10 dans un cercle partagé en 12 pour faire référence à l’horloge. Il est hors de question de parler d’arithmétique modulo 12, même si c’est l’idée sous-jacente et que cela me plaît beaucoup ! L’activité est guidée pour la table de 2. La lecture de la consigne devrait permettre de tracer les 11 segments. L’obstacle pour démarrer consiste à comprendre comment faire quand le produit dépasse 11. J’espère que l’analogie avec les heures permettra aux élèves de comprendre que 18 correspond au nombre 6 sur le cercle. On sait bien que 18h c’est 6h de l’après-midi ! Il faut ensuite formaliser cela en montrant que 18=12+6 et peut-être aussi que 18=12 x 1+ 6. Comme M. Jourdain, faire de l’arithmétique modulo 12 sans le savoir ! On passe ensuite aux autres tables. Un bon moyen de rafraîchir une mémoire défaillante après un été caniculaire. Le calcul modulo 12 va peu à peu se compliquer avec le nombre de tours qui augmente. J’ai ajouté en préalable la table de multiplication de 12 pour avoir quelques repères. J’imagine la difficulté pour un élève un peu fragile d’effectuer 7 x 8 = 56 puis comme 12 x 4 = 48 de se dire que 56 = 48 + 8 ! Quoi qu’il en soit, ce travail devrait permettre à tous de s’engager dans l’activité. L’observation des 9 figures obtenues est très riche. Il y a des symétries verticales, parfois des symétries horizontales. Quelques fois, il manque des segments, car certains points reviennent sur eux-mêmes. On peut faire toute une série de conjectures et à cette occasion découvrir ce qu’est une conjecture en mathématiques. Pour les plus persévérants, élèves et enseignants, j’ai imaginé une suite en augmentant le nombre de points sur le cercle. J’ai choisi 100 ! Pour simplifier le calcul des restes. Il faudra 100 segments pour obtenir le résultat graphique. Je propose ces défis pour la table de 2 et la table de 3. Le résultat est époustouflant ! Pour mémoire, j’ai ajouté la correction détaillée et les figures pour 100 points pour les tables de 2 à 10. C’est très joli ! Le document Voici le document complet, les trois fiches élèves et les corrections détaillées où j’ai ajouté quelques conjectures à signaler aux élèves. Pour aller plus loin Cette activité est une porte d’entrée vers de nombreuses questions mathématiques. Voici quelques pistes et quelques compléments avec lesquels je me suis amusé. Et si on augmentait le nombre de points ? Je propose aussi, sur cette fiche, d’observer ce qui se passe quand on augmente le nombre de points sur le cercle. Sur la deuxième et la troisième fiche, je propose 100 points ! Même si ce travail demande beaucoup de patience, le résultat vaut vraiment le coup. On voit apparaître des figures géométriques étranges des épicycloïdes ! La table de 2 une cardioïde La table de 3 une phrénoïde Je me suis amusé à observer ce qui se passe pour les tables suivantes. Voici le résultat Une conjecture saute aux yeux le nombre de bosses ou de points de rebroussement est égal au numéro de la table de multiplication ôté de 1. Conjectures mathématiques En observant les images obtenues avec la première partie de la fiche, on peut se poser de nombreuses questions. On peut faire plusieurs remarques Ces figures sont symétriques par rapport à un axe vertical reliant les nombres 6 et 0 ;Les tables de nombres impairs présentent une symétrie horizontale ;Les tables de nombres pairs sont symétriques l’une par rapport à l’autre par rapport à un axe horizontal, table de 2 et table de 8, table de 4 et table de 10 ;Les tables de 5 et 7 sont particulières elles ne présentent pas 11 segments, mais seulement 4 ou 3. D’ailleurs 5 et 7 sont les seuls entiers compris entre 2 et 10, premiers avec 12 ! Cette dernière remarque peut être approfondie. Quand il manque des segments, il n’y a qu’une alternative soit un nombre mène à un autre nombre qui revient vers le premier, soit un nombre mène à lui-même. Si nous sommes plus précis, nous pouvons constater que La table de 2 est constituée de 10 segments ;la table de 3 est constituée de 9 segments ;la table de 4 est constituée de 9 segments ;la table de 5 est constituée de 4 segments ;la table de 6 est constituée de 11 segments ;la table de 7 est constituée de 3 segments ;la table de 8 est constituée de 10 segments ;la table de 9 est constituée de 8 segments ;la table de 10 est constituée de 9 segments. On arrive à 73 segments tracés. Il devrait y en avoir 11 x 9 = 99. On remarque que seule la table de 6 permet de dessiner 11 segments. Sur l’ensemble des tables, il manque donc 26 segments que nous allons chercher. Nous allons commencer par les points qui restent sur eux-mêmes. Notons n le nombre sur le cercle et T la table de multiplication. On cherche n et T tel que nT congru à n modulo 12. Cela signifie que nT – n = n T – 1 congru à 0 modulo 12. Comme 12 n’est pas premier, on sait que le groupe Z/12Z n’est pas intègre. Il possède des diviseurs de 0. Par exemple, 2 x 6 et 3 x 4 sont des produits nuls dans cet anneau. Les nombres non premiers avec 12 sont des diviseurs de zéros. On cherche les produits nuls dans cet anneau, c’est-à-dire les produits d’entiers égaux à un multiple de 12 12 ; 24 ; 36 ; 48 ; 60 et 72 2 x 6 ; 3 x 4 ; 3 x 8 ; 4 x 6 ; 4 x 9 ; 6 x 6 ; 6 x 8 ; 6 x 10 ; 8 x 9 Pour résoudre n T – 1 congru à 0 il faut tester les cas possibles. n=2 et T=7 point isolén=3 et T=5 point isolén=3 et T=9n=4 et T=4n=4 et T=7 point isolén=4 et T=10n=6 et T=3n=6 et T=5 point isolén=6 et T=7 point isolén=6 et T=9n=6 et T=11n=8 et T=4n=8 et T=7 point isolén=8 et T=10n=9 et T=5 point isolén=9 et T=9n=10 et T=7 point isolé On retrouve parmi ces 17 possibilités, on trouve les 8 points non triviaux des dessins de la table de 5 et de 7. Il en reste 9 qui sont des points qui sont un résultat de produit. Par exemple, pour la table de 9, le point 9 est relié au 1. Comme 9 x 9 = 81 = 12 x 6 + 9, 9 revient sur lui-même. C’est 1 qui donne 9. Finalement, sur les 27 segments manquants, nous avons trouvé 8 points isolés ;9 points isolés invisibles puisqu’ils sont l’extrémité d’un autre segment ;il en manque encore… Il nous reste à trouver les points qui en rejoignent un autre qui ensuite revient vers le point de départ. On pourrait appeler cela un segment double. Notons n le nombre de départ et T la table. n devient n T puis n T devient n T^2. On cherche les nombres tels que n T^2 congru à n modulo 12 soit n T^2 – n ou encore n T^2 – 1 congru à 0 modulo 12. Comme T^2 – 1 = T+1T-1 l’équation devient n T – 1T + 1 congru à 0 modulo 12. On remarque que les solutions de l’étude précédente sont aussi solutions de cette équation. C’est normal puisqu’un point qui abouti sur lui-même a le même comportement quand on effectue cela deux fois. Reste à déterminer les solutions que nous n’avons pas déjà notées. Observons T^2 – 1. On souhaite que ce soit un diviseur de zéro. En observant les carrés des entiers de 2 à 10 modulo 12 on constate que le reste est 4 pour 2 ; 4 ; 6, 8 et 10, qu’il vaut 9 pour 3 et 9 et 1 pour 5 et 7. 5 et 7 sont des nombres entiers dont le carré est congru à 1 modulo 12. Par conséquent, les 11 points du cercle pour la table de 5 et de 7 sont des solutions ils sont soit isolés, soit l’extrémité d’un segment double. Notons au passage que 5 et 7 sont des nombres premiers avec 12, ils sont inversibles dans Z/12Z. C’est aussi le cas de 11 puisque 11 x 11 congru à 1 modulo 12. D’ailleurs voici la table de 11…. sans surprise ! Dans l’équation n T – 1 T + 1 congru à 0 modulo 12, pour T=11 on T+1 congru à 0 modulo 12. Tous les points sont isolés ou double ! Nous pouvons donc ajouter les 7 segments doubles des tables de 5 et 7 à notre liste. Nous arrivons à 24 segments. Il reste les produits de 3 entier, n T – 1 T + 1 congru à 0 modulo 12. On a déjà trouvé les produits de deux facteurs nuls. Les termes T – 1 et T + 1 ont un écart de 2, cela limite nos recherches à 3 x 2 x 4 ; 6 x 2 x 4 et 9 x 2 x 4. Le cas où T=5 avec 4 x 6 étant congru à 0, ou encore 6 x 8 ont déjà été comptés. Il reste 3 x 8 x 10 ; 6 x 8 x 10 et 9 x 8 x 10. Cela fait six cas supplémentaires T = 3 et n=3 , 6 ou 9 seul n=6 avait été comptéT = 9 et n=3, 6 ou 9, ils avait déjà été compté Nous en avons 2 segments de plus soit 26 segments ! OUF !! Ce petit tour exhaustif en arithmétique est une source de questionnement pour les élèves en classe et accessoirement un bel exercice d’arithmétique pour les bacheliers.

tableau des tables de multiplication à imprimer